Tonsysteme

Vorbemerkung
Frage: Braucht man um Musik zu machen ein Tonsystem ? – Antwort: Nein.
Wer fuer sich selber diese Frage ehrlich mit Nein beantworten will, sollte aber nicht naiv sein. Wir leben heute ungefaehr als fuenfte Generation in einer industrialisierten Medienkultur, in der praktisch alle musikalischen und musikaehnlichen Produkte, denen wir, ob wir wollen oder nicht, ausgesetzt sind, bereits ein Tonsystem transportieren.
Desgleichen der Instrumentenbau: von jeher experimentell auf der einen Seite, konservativ auf der anderen. Praktisch alle Musikinstrumente der vom Westen ausgehenden globalen Musikkultur (mit Ausnahme der Perkussionsinstrumente) sind fuer ein Tonsystem gebaut, allen voran die elektronischen Instrumente mit ihren keyboards. Industriell gefertigt, nach Marktstrategien gestaltet, sind sie nicht bloss konservativ: sie konservieren ein Tonsystem nicht mehr, sie zementieren es.
Ohne Tonsystem zu arbeiten bedarf daher schon einer bewussten Ablehnung.
Am ehesten findet man nicht-systembezogene Musik oder Audiokunst noch im Grenzbereich von Musik und Bildender Kunst oder Architektur, wobei die Systematik auf anderen Ebenen stattfindet: skulpturale Installationen, von Bildhauern verfertigte Instrumente und Klangobjekte [@7].

Bewertung von ungewohnten Tonsystemen

Bei der gehoersmaessigen Beurteilung von Tonsystemen sollte man darauf achten, dass nicht Nebenumstaende die Beurteilung beeintraechtigen. In der Instrumentalmusik wurde und wird von verschiedenen Komponisten immer wieder der Versuch unternommen das vorhandene Tonsystem zu veraendern oder zu erweitern (zumeist auf der Basis der gewohnten zwoelftoenigen Stimmung: Vierteltoene, Sechsteltoene, etc.). Stuecke fuer zwei zueinander um einen Viertelton versetzte Klaviere sind nicht selten (Charles Ives); desgleichen Viertelton- und Sechstelton-stuecke fuer Streichinstrumente (Alois Haba). Nicht wenige Musiker und Komponisten haben sich zu diesm Zweck eigene Instrumente anfertigen lassen (Alois Haba, Wischnjegradski).
Dabei gilt es folgendes zu bedenken: Die Sonderanfertigungen von Musikinstrumenten sind selten von erster Qualitaet. Wer zum Beispiel ein Vierteltonklavier in Auftrag geben will, muss froh sein, wenn er ueberhaupt einen Klavierbauer findet, der das macht. Kaum wird man die renommierten Firmen dafuer gewinnen koennen und selbst wenn, koennte man das kaum bezahlen. Zu viele Schwierigkeiten sind damit verbunden, die genaugenommen jahrelange Entwicklungsarbeit benoetigten. Ein solchermassen modifiziertes Klavier kommt klanglich an die grossen Marken der Konzertfluegel nicht heran. Und dann werden diese Instrumente, wie auch die Musikstuecke ueberhaupt, selten von den allerbesten Musikern gespielt, oder von Musikern, die darauf ebenso trainiert sind wie auf den traditionellen Instrumenten.
Streichinstrumente hingegen, auf denen man scheinbar alles spielen kann, muessen eingespielt werden. Nicht nur die Musiker, die Instrumente selber muessen eine neue Stimmung 'lernen'. Das gilt auch fuer gegeneinander verstimmte Klaviere. Das um einen Viertelton herabgestimmte Klavier klingt deutlich matter und, wenn man sich nicht die Muehe nimmt, es einige Tage setzen zu lassen und mehrmals nachzustimmen, effektiv falsch.
Das alles darf man nicht den ungewoehnlichen Stimmungen anlasten. Das uns vertraute abendlaendische Tonsystem wuerde unter aehnlichen Umstaenden genauso matt und ungelenk erscheinen.
In der EM gilt das alles nicht. Derartige Probleme existieren da nicht, aber es gibt auch keine Ausreden. Die Verhaeltnisse sind hier geradezu umgekehrt: Stuecke, die bewusst die traditionelle Klavierstimmung verwenden, sind eine Seltenheit, in den meisten Faellen eher ein Zeichen von Amateurhaftigkeit und mangelnder kompositorischer Reflexion.
Viele der namhaften Komponisten in der EM haben daher vom ersten Moment an mit anderen, neuen Stimmungen experimentiert, sei es nun gehoersmaessig intuitiv, wie Francois Bayle, oder konstruktiv, wie Karlheinz Stockhausen. Auch das Aufeinandertreffen von beliebigen, 'aussermusikalischen' Klaengen in der musique concrete hat von Anfang an die Bedeutung eines universellen Tonsystems in Frage gestellt.

Intervalle und Proportionen

Bei der Beschaeftigung mit Tonsystemen hat man unweigerlich mit Zahlen zu tun. Manche Musiker hoeren das nicht gerne, weil sie die kuenstlerische Sphaere von der rationalen mathematischen geschuetzt sehen wollen. Die meisten Begriffe aber, die sie verwenden, sind nichts weiter als kaschierte Zahlen, die noch dazu den Nachteil haben, dass sie durch ihre ungeschickte Benennung einer algebraischen Verknuepfung nur schwer zugaenglich sind.
Allein die Notennamen der diatonischen Skala (urspruenglich mit A beginnend und mit B statt H an zweiter Stelle, wie heute noch im anglikanischen Sprachraum) sind die ersten 7 Buchstaben unseres Alphabets und somit nichts weiter, als die alten griechischen Zahlzeichen (α,β,γ,δ....) vor Einfuehrung der roemischen Ziffern und lange vor Einfuehrung unserer heutigen arabischen (urspruenglich indischen Ziffern). Die Bezeichnung der Intervalle (Prim, Sekund, Terz, Quart, Quint, Sext, Septim, Oktav) sind ebenfalls nichts weiter als lateinische Ordinalzahlen fuer die erste bis siebte Stufe der diatonischen Skala. Wollte man aber daraus Rechenregeln ableiten, dann wuerde beispielsweise die Tatsache, dass eine Quint und eine Quart uebereinander eine Oktav ergeben, so aussehen:
Quint + Quart = Oktav
5. + 4.= 8.
Bedient man sich der arabisch-indischen Ziffern und beginnt bei 0 statt bei 1, dann lautet dieselbe Formulierung etwas transparenter:
4 + 3 = 7
Und in Halbtonstufen gedacht:
7 + 5 = 12

Es hat natuerlich durchaus etwas Reizvolles und Ueberschaubares, wenn man einzelnen Toenen Namen geben kann und seien es auch nur die Anfangssilben eines Lehrgedichtes ut-re-mi-fa-sol-la (Guido von Arezzo), oder sa-ri-ga-ma-pa-dha-ni in den indischen Ragas. Solche Bezeichnungen haben aber in der Regel ganz bestimmte urspruengliche Bedeutungen, die einem festen Weltbild zugehoeren und auf die Annahme eines Grundtones bezogen sind. (In der EM gibt es sehrwohl auch Benennungen, besonders dort, wo mehrere Personen zusammenarbeiten und kommunizieren muessen, sie sind aber individuell und betreffen weniger abstrakte Kriterien als Klangcharaktere, Formen und Prozesse). [L3]

Wir haben es mit mehreren Aspekten von Zahlen zu tun, die man nicht verwechseln sollte:
Ordinalzahlen bei der Numerierung der Stufen einer Skala (bitte mit 0 beginnend) oder bei der Numerierung der Teiltoene eines Spektrums (bitte mit 1 beginnend); Proportionen als ganzzahlige Brueche oder Gleitkommazahlen (floatingpoint numbers) fuer Intervalle.
Intervalle sind Proportionen. Eine reine Oktave zum Beispiel ist definiert als das Verhaeltnis des zweiten Teiltones in einer linearen Teiltonreihe zum ersten (Grundton), als 2:1 oder als Bruch geschrieben 2/1 oder als floatingpoint 2.000...
Eine reine Quint dementsprechend als 3:2 oder 3/2 oder 1.500...
Die Differenz dieser beiden Intervalle ergibt sich durch (2/1) / (3/2) = 2*2 / 1*3 = 4/3
oder 2.000/1.5000 = 1.3333, das ist eine reine Quart.
Um hingegen das Verhaeltnis zweier Intervalle zu finden, also die Proportion von Proportionen, bedient man sich des Logarithmus. Das Verhaeltnis der Oktave zur Quint ist demnach log(2) / log(1.5) = 1.7095...
Das heisst: die Oktav ist 1.7095 mal groesser als die Quint. (Es ist uebrigens egal, welchen Logarithmus man dazu verwendet).

Ein Intervall unterteilen kann man auf viele Arten. Die zwei wichtigsten sind die harmonische Teilung und die geometrische Teilung.
Bei der harmonischen Teilung erweitert man die Proportion entsprechend und findet damit die Zwischenstufen: 2:1 = 4:2 somit gibt es eine Zwischenstufe 4:3:2.
Die beiden Teilintervalle sind dabei nicht gleich, naemlich Quart und Quint.
Bei der geometrischen Teilung bedient man sich der Wurzel: ²√2 = 1.4142
Die beiden Teilintervalle sind gleich: der sogenannte Tritonus. Nach demselben Schema erhaelt man auch andere Unterteilungen:
2:1 = 24:12 24:23:22:21:20:19:18:17:16:15:14:13:12 oder ¹²√2 = 1.05946, unser gewohnter temperierter Halbton.
Um in einer geometrischen Unterteilung die anderen Stufen zu finden bedient man sich der Potenzen. Die Quint (als die 7.Stufe in der chromatischen Skala, bei 0 beginnend) ist demnach 1.05946⁷oder 2^7/12

Konsonanz und Dissonanz

Die traditionelle Definition von Konsonanz und Dissonanz gilt grundsaetzlich nur fuer eine bestimmte Klasse von Klaengen, naemlich fuer solche mit ganzzahligen Teilton-spektren (frueher nannte man sie etwas tautologisch musikalische Klaenge).
Fuer alle anderen – und deren gibt es viele, die in der EM grundsaetzlich alle Verwendung finden koennen – hat sie in dieser Form keine Bedeutung. Da gelten ganz andere, oft viel kompliziertere Gesetzmaessigkeiten fuer den Charakter des Zusammenklanges. [@8]
Auch haengt die Art des Zusammenklanges stark von Typus und Charakter der Klaenge ab. Die obertonreichen Klaenge der arabischen, indischen und fernoestlichen Musikkulturen, aber auch im Jazz, harmonieren anders als die vergleichsweise obertonarmen Klanege der westlichen Orchesterinstrumente.
Die simple Gleichsetzung von Konsonanz mit Wohlklang und Dissonanz mit Missklang ist aber in jedem Fall obsolet und weder musikalisch, noch gehoers-physiologisch aufrechtzuerhalten (und auch psychologisch nur unter Einbeziehung von Musiksoziologie fuer einen kleinen, temporaer begrenzten Kulturkreis).
(Bei den beruehmten traditionellen bulgarischen Frauenchoeren gelten, nach Informationen von bulgarischen Kollegen, nicht Oktav und Quint als Konsonanzen, sondern ein Tritonus und eine grosse Sekund). [@20]
In der Abstraktion durch ganzzahlige Brueche findet man den Dissonanzgrad eines Intervalles ganz einfach durch die Summe von Zaehler und Nenner (harmonische Tiefe). Das am wenigsten dissonante Intervall ist demnach der Einklang 1:1 (HT=2), gefolgt von der Oktave 2:1 (HT=3), der Duodezim 3:1 (HT=4), der Doppeloktav 4:1 und der Quint 3:2 (HT=5).
Um solcherart eine Bewertung des Konsonanz- oder Dissonanzgrades eines Intervalles praktisch durchzufuehren, muss man aber eine gewisse Unschaerfe einfuehren. Neben der reinen Oktave 2:1 laegen beispielsweise Intervalle wie 2001:1000, die nach diesem Schema als scharfe Dissonanz betrachtet werden muessten, praktisch aber als reine Oktav gehoert werden. Eine schoene grafische Darstellung des Konsonanzgrades der Intervalle innerhalb einer Oktav findet sich bei Helmholtz. [L5]

Natuerliche Tonsysteme

Das wohl bekannteste natuerliche Tonsystem ist die sogenannte Obertonreihe. Der Begriff und vor allem die Ideologie, die sich verschiedentlich um diesen rankt – als waere die auf den Verhaeltnissen ganzer Zahlen basierende Obertonreihe blanke Natur, ist allerdings etwas irrefuehrend. Als Teiltonreihe gilt sie genaugenommen nur fuer ideale homogene eindimensionale Schwingungserzeuger (ideale duenne Saiten und duenne Luftsaeulen). Bereits unregelmaessige, oder gar praeparierte Saiten zeigen gaenzlich andere Teiltonproportionen, die genauso 'natuerlich' sind, aber mathematisch wesentlich komplizierter und nicht einheitlich, sondern individuell. Aber auch saemtliche homogenen flaechigen Schwingungserzeuger (kreisfoermige oder rechteckige duenne Platten und Membrane) zeigen voellig andere Teiltonschemata, die ebenfalls keineswegs 'unnatuerlich' sind [L1]. Das Teiltonschema einer rechteckigen Membran beispielsweise laesst sich beschreiben durch √(n²+m²), wobei n und m Reihen von ganzen Zahlen sind. [@2].
Die einfachste Art sich natuerlicher Tonsysteme zu bedienen, ist die durch die Evozierung der Teiltoene selber: Flageolette bei den Saiteninstrumenten [@21], Ueberblasen bei den Blasinstrumenten [@22] und nicht zuletzt auch Obertongesang.

Natuerliche Intervallsysteme

Betrachtet man nicht die Teiltoene selber, sondern ihre Proportionen, so hat man es mit einem Intervallsystem zu tun. Das bekannteste ist das auf der Basis von ganzzahligen Bruechen, die Grundlage der sogenannten pythagoreischen Stimmungen, die lange Zeit eine Grundlage der abendlaendischen Musik waren und auch heute noch im Orgelbau verwendet werden. Sie finden sich auch in manchen neueren Synthesizern und Samplern implementiert. [@3].
Auch die vielfaeltigen arabischen und indischen Vierteltonskalen sind, soweit bekannt ist, unter Verwendung von komplizierten ganzzahligen Bruechen konstruiert.
Die freie Verwendung von solchen, auch reine Intervalle genannten Proportionen fuehrt nicht notwendig zu einem geschlossenen Tonsystem, im Gegenteil: die elementaren reinen Intervalle sind nicht kommensurabel. Ihr Verhaeltnis (die 'Proportion der Proportionen') ist grundsaetzlich irrational. Das Verhaeltnis einer reinen Oktave (2:1) zu einer reinen Quint (3:2) zum Beispiel, definiert als log(2)/log(1.5) = 1.709511 ... gibt keine ganzahlige Loesung. Anders ausgedrueckt: der Quintenzyklus trifft nirgends exakt mit dem Oktavenzyklus zusammen, es gibt nur Annaeherungen (das beruehmte Dillemma der pythagoreischen Stimmung, das von dem Organisten Andreas Werckmeister (1645-1706) durch die gleichschwebend temperierte Stimmung geloest wurde).
Verzichtet man auf eine geschlossene Skala, dann lassen sich reine Intervalle (auch solche hoeherer Ordnung) unbeschraenkt verwenden. [@1]

Spekulative Tonsysteme

Allen Arten von Spekulationen (mathematischen, kosmologischen, mystischen, religioesen ...) sind in der Formalisierung von Musik keine Grenzen gesetzt. Das reicht von der Definition des barocken Kammertones als x-te Oktave einer 'kosmischen Grundschwingung' bis zur Festlegung von 'goettlichen Harmonien' [L2].
Auch die Pythagoraeischen Stimmungen gehoeren im Grunde hierher, denn ihre Beschraenkung auf Intervalle, die nur aus den Quotienten 2 und 3 bestehen, ist letztlich doch mystischen oder kosmologischen Ursprungs (Hexagon). Wuerde wenigstens die 7 noch dazugenommen, dann waeren zum Beispiel auch die als blue notes bekannten Intervalle miteinbezogen:

	7/6	eine etwas kleinere kleine Terz
	7/5	eine etwas kleinere verminderte Quint
	7/4	eine etwas kleinere kleine Septim

Letztlich zeichnen sich alle Tonsysteme, so auch die spekulativen, durch einen bestimmten, manchmal durchaus reizvollen Charakter aus. (Problematisch wird es nur, wenn sie sich als die allein richtigen aufdraengen).
Ein Beispiel sei hier erwaehnt:
Der englische Uhrmacher John Harrison (1693-1776) betrachtete die Oktave als einen geschlossenen Kreis und unterteilte sie dementsprechend in 2pi: ^2pi√2 = 1.1166
Das ergibt ein Intervall, etwas kleiner als der reine oder temperierte Ganzton. Daraus konstruierte er offenbar eine diatonische Skala mit etwas groesseren Halbtoenen als Restintervalle. Ein Australier namens Lucy hat dann im vorigen Jahrhundert diese Skala zu einer nicht temperierten 24-stufigen Skala erweitert. [@4]

Temperierte Tonsysteme

(vom lateinischen tempero, ’maessigen’, im Sinne von ’gleichmaessig’) in denen zwischen allen benachbarten Tonstufen dasselbe Intervall liegt (temperierter Halbton zB.). Die verschiedenen Intervalle eines temperierten Tonsystems ergeben sich durch Potenzierung des Basisintervalles B: I_n = BⁿAlle temperierten Tonsysteme sind daher geometrische Reihen oder Exponentialreihen. In der Regel sind sie auf die Oktav (als einzig vollkommen ’reines’ Intervall) bezogen, es gibt aber, vor allem in der EM, auch anderer Ansaetze.

Gleichschwebend temperierte Stimmung

Unsere heutige global verbreitete Keyboard-Stimmung ¹²√2 geht angeblich auf den Orgelbauer Andreas Werckmeister (1645-1706) zurueck. Nach anderen Quellen hat der chinesische Mathematiker und Musiktheoretiker Zhu Zaiyu (1536-1611) bereits hundert Jahre frueher diese Stimmung fuer die chinesische Hofmusik eingefuehrt. Ausgrabungen in China haben auch ein chromatisches Glockenspiel zutage gefoerdert, das offensichtlich zwoeltoenig gestimmt war. Ob im Sinne einer gleichschwebend temperierten Stimmung, laesst sich aber heute nicht mehr sagen. [@23].
Wie dem auch sei, das Grundprinzip dabei ist, dass man die Abweichung der 12. Quint im Quintenzirkel ueber dem Grundton von dessen 7. Oktav, das sogenannte pythagoreische Komma, auf alle Quinten gleichermassen verteilt. Damit werden Quinten und Quarten etwas ungenau (die Quint zu 1.4983 statt 1.5, die Quart zu 1.3348 statt 1.3333), die Terzen aber wesentlich ungenauer (grosse Terz 1.2599 statt 1.25, die kleine Terz 1.1892 statt 1.2).
Durchgesetzt hat sich diese Stimmung moeglicherweise auch wegen der trivialen Magie der Zwoelfzahl. Sie findet sich gelegentlich auch verbunden mit kosmologischen und mystischen Aspekten (Josef Mathias Hauer).
Bei der Uebertragung zahlenmystischer Aspekte von der linearen Betrachtungsweise zur logarithmischen und umgekehrt sollte man aber vorsichtig sein. Es waere ein Irrtum, zu glauben, dass bei einer logarithmischen Teilung der Oktave in 12 gleiche Intervalle (¹²√2) die ’mystische Zahl’ 12 sich in den resultierenden Intervallen wiederfindet. Das Gegenteil ist der Fall:
Betrachtet man diese resultierenden Intervalle als Annaeherungen an ganzzahlige Brueche, so zeigt das so gewonnene Tonsystem eher eine Affinitaet zur Zahl 17.

Halbton	1.0595	ziemlich genau 18/17
Tritonus	1.4142	ziemlich genau 17/12
grosse Terz	1.2599	ziemlich genau 2*17/27

Fuer Musik auf diatonischer Grundlage, in der man Wert auf reine Intervalle und Harmonien legt, ist diese Stimmung eigentlich sehr hart und wird daher auch von vielen Musikern und Komponisten scharf kritisert. Johann Sebastian Bach hat ihr trotzdem einen ganzen Zyklus von Stuecken gewidmet, das bekannte Wohltemperierte Klavier. Man muss sich dabei aber vor Augen halten, dass das eigentliche Instrument, fuer das er diese Preludien und Fugen geschrieben hat, nicht ein Klavier in unserem heutigen Sinn war, sondern das Clavichord – ein Tasteninstrument, auf dem man intonieren kann, weil man in staendigem Kontakt mit den Saiten ist, solange sie klingen, und damit die Haerten der Stimmung mildern.

Vierteltoene ²⁴√2
Die Erweiterung durch Einfuehrung von Vierteltoenen bringt uns keines der einfachen natuerlichen Intervalle reiner. Die neu hinzukommenden Intervalle, ein Viertelton, ein kleiner Ganzton, eine verminderte und eine neutrale Terz, sowie zwei verstimmte Quarten, zeigen eine Affinitaet zur Zahl 11.

1	1.0293	≈35:34
3	1.0905	≈12:11
5	1.1554	≈15:13
7	1.2241	≈11:9
9	1.2968	≈13:10
11	1.3740	≈11:8

Bedeutung haben die temperierten Vierteltoene mehr durch ihre Notierbarkeit mit zusaetzlichen Vorzeichen in der gewohnten Notenschrift.

Auf die Oktave bezogene temperierte Stimmungen

Der allgemeine Ansatz fuer diesen Typus von Stimmungen ist in der Regel, die Oktave und ein anderes Intervall (meistens die Quint) in ein System zu bringen, wobei die Oktave rein genommen wird und das andere Intervall moeglichst genau angenaehert werden soll. Im Falle der Quint bedeutet das, dass das Verhaeltnis von Oktave zu Quint log(2)/log(1.5) = 1.7095 durch einen ganzzahligen Bruch anzunaehern ist. Man findet mehrere Loesungen, wenn man dieses Verhaeltnis mit ganzen Zahlen multipliziert:
     1.7095 * 3 = 5.1285 ≈ 5
     1.7095 * 4 = 6.8380 ≈ 7
     1.7095 * 7 = 11.9666 ≈ 12
     1.7095 *10 = 17.0951 ≈ 17
     ...................
In der Folge sind einige markante Stimmungen auf dieser Basis beschrieben.

5. Wurzel aus 2
Der deutsche Informationstheoretiker Werner Meyer-Eppler, der fuer die Koelner Schule der elektronischen Musik von grosser Bedeutung war, warf in den Fuenfzigerjahre bereits die Frage auf, warum sich die Muiker und Komponisten nicht des grossen Ganztones 8:7 bedienen, von denen ziemlich genau 5 auf eine Oktave gehen: eine Art temperierte Pentatonik, die ziemlich genau mit der als pelog bekannten Skala der indonesischen Gamelanmusik uebereinstimmt. [@17]
Weiter unterteilt in ¹⁰√2 und ¹⁵√2 erhaelt man eine Art chromatische Pentatonik, die sich vor allem melodisch gut einsetzen laesst.

6. Wurzel aus 2
Ganztonskala, ist in der ¹²√2 enthalten.

7. Wurzel aus 2
Nimmt man bei einem Keyboard nur die weissen Tasten und stimmt die Toene so, dass alle Intervalle gleich sind (die Ganztoene etwas kleiner und die Halbtoene entsprechend groesser), dann hat man diese Stimmung, in der die Diatonik noch deutlich spuerbar ist. Die Quart ist etwas zu gross, die Quint etwas zu klein (16cent), dafuer ist die Quart in 3 gleiche kleine Ganztoene (11:10) teilbar und die Quint in 2 neutrale Terzen. Diese Stimmung eignet sich gut fuer groeberes Klangmaterial und wird von Komponisten/innen im Umfeld der ELAK gerne verwendet. Je nach KM geht sie ins Burleske [@5] oder ins Fernoestliche. [@11]
Auch die chromatische Ableitung davon ¹⁴√2 ist durchaus ergiebig. [@12]

8. Wurzel aus 2
entsteht, wenn man eine temperierte kleine Terz in zwei gleiche Intervalle teilt. Das Basisintervall ist ein grosser Dreiviertelton (ca. 12:11), ansonsten gibt es noch die besagte kleine Terz, eine uebermaessige Terz und einen Tritonus. [@11]
In einem der ersten digitalen Samplern, dem Fairlight, war die chromatische Erweiterung ¹⁶√2 als Alternative implementiert. Das ist eine sehr harte Stimmung, die aber fuer ’architektonische’ Wirkungen durchaus brauchbar ist. [@13]

9. Wurzel aus 2
Teilt man die gewohnte temperierte grosse Terz in 3 gleiche Schritte, dann erhaelt man diese Stimmung. Das Basisintervall ist einer guter Dreiviertelton (ca.14:13). Darueberhinaus gibt es aber eine nahezu perfekte verminderte kleine Terz 7:6.
Diese Stimmung kommt meist in den chromatischen Erweiterungen ¹⁸√2 vor, als Dritteltoene [@5], oder ³⁶√2, als Sechsteltoene, die ja auch die zwoelftoenige Stimmung beinhalten. Diese Erweiterung findet man auch in der Instrumentalmusik, besonders im Streichquartett. [@14]
Der Komponist Wischnjegradski hatte auch ein eigens angefertigtes Sechstelton-Klavier mit drei Manualen. [@15]

11. Wurzel aus 2
Eine eher ungebraeuchliche Stimmung, obwohl sie einen fast guten Halbton (zwischen 16:15 und 17:16) als Basisintervall hat, einen etwas groesseren Ganzton, eine gute kleine Terz und eine gute uebermaessige Terz, aber praktisch keine Quint und keine Quart. Dennoch laesst sie sich fuer verschiedene dramatische Effekte verwenden. Wegen ihrer Naehe zur gewohnten ¹²√2 wirkt sie ausgenommen ’schraeg’ [@5].

17. Wurzel aus 2
Eine der Loesungen, die man findet, wenn man die Annaeherungen des Quintenzirkel mit dem Oktavenzirkel systematisch sucht. Tatsaechlich sind die Quinten darin ganz gut, aber nicht tiefer wie bei der ¹²√2, sondern etwas hoeher:

	Quint in ¹²√2	1.4983	0.28% Ungenauigkiet, oder 2cent Differenz
	Quint in ¹⁷√2	1.5034	0.56% Ungenauigkeit, oder 4cent Differenz

Es gibt aber darin keine grosse und kleine Terz, dafuer eine neutrale, eine verminderte und eine uebermaessige, sowie einen Dreiviertelton. [@15]

19. Wurzel aus 2
Wer Wert auf saubere Dreiklaenge legt, dem sei diese, allerdings ungebraeuchliche Stimmung empfohlen. Wesentlich bessere Terzen, als in der ¹²√2, gute Quarten und Quinten, sowie eine Reihe weiterer, interessanter Intervalle.

1	1.0372	kleiner Halbton 28:27
2	1.0757	dreiviertelton 15:14
3	1.1157	kleiner Ganzton 10:9
4	1.1571
5	1.2001	kleine Terz 6:5 (Genauigkeit 0.05%)
6	1.2447	grosse Terz 5:4 (Genauigkeit 2%)
7	1.2909
8	1.3389	Quart 4:3
9	1.3887
10	1.4402
11	1.4938	Quint 3:2

Neben diesen Eigenschaften sei aber auch noch eine andere erwaehnt: bei Unterteilung der Oktav nach einer Primzahl (19), bildet jedes Teilintervall einen vollstaendigen Zyklus. Das koennte kompositorisch genutzt werden.
Nach Brian M. Ames gibt es ferner eine 19-stufige Skala, die aber moeglicherweise nicht temperiert, sondern mitteltoenig gedacht ist.

Mikrotonale Skalen

Zu Tonsystemen mit sehr vielen Tonstufen, sogenannte mikrotonale Skalen, gibt es viele verschiedene Ansaetze. Sie beziehen sich durchwegs auf die Oktave und sollen in den meisten Faellen die reinen Intervalle moeglichst gut annaehern. Kompositorisch sind sie insofern problematisch, als sie zu viele formale Moeglichkeiten bieten, die sich leicht in Belanglosigkeit verlieren und auf Instrumenten mit praktischen Intonationsschwankungen auch oft nicht mehr nachvollziehbar sind. Treibt man die Feinabstufung zu weit, dann wird sie zum Raster, das kaum mehr kompositorische Bedeutung hat.

31. Wurzel aus 2
Der hollaendische Astronom und Physiker Christian Huygens (1629-1695) unterteilte die Oktave in 31 Stufen, wodurch viele reine Intervalle sehr gut angenaehert werden:

2	1.0457
3	1.0694
5	1.1183	Ganzton 9/8	5.0%
6	1.1436	Ganzton 8/7	0.5%
7	1.1694	Terz 7/6	1.5%
8	1.1959	Terz 6/5	1.9%
9	1.2229	Terz 11/9	0.3%
10	1.2506	Terz 5/4	0.2%
11	1.2788	Terz 9/7	2.2%
13	1.3373	Quart 4/3	1.0%
15	1.3985	Tritonus 7/5	0.3%

Der hollaendische Komponist Adriaan Fokker entwarf 1950 dafuer ein Orgelmanual. Auch der legendaere Synthesizer Mini-Moog ist in diese Stimmung umschaltbar, allerdings auf einem herkoemmlichen Keyboard. (Die urspruengliche Stimmung von Huygens ist moeglicherweise nicht temperiert gemeint, sondern mitteltoenig).

43. Wurzel aus 2
Der amerikanische Komponist Harry Partch (1901-1976) verwendete seit den Dreissigerjahren eine 43-stufige Skala, konstruierte eigene Instrumente dafuer und versammelte ein spezialisiertes Ensemble von Musikern um sich, die seine Kompositionen spielten. [@19] Untersucht man die Skala, so faellt auf, dass vor allem der Halbton 16:15 fast vollkommen rein darin vorkommt, ferner ein kleiner Halbton 21:20, sowie ein Viertelton 36:35.

53. Wurzel aus 2
Der aus der Tuerkei stammende Musiker Memo Guenesch Schachinger, Leiter des Hasret-Ensembles, vertritt eine 53-stufige, vemutlich temperierte Skala, mit der sich, wie er sagt, die Tonsysteme aller Kulturen darstellen lassen. Tatsaechlich sind in dieser Temperierung viele ganzzahligen Proportionen sehr rein angenaehert. Schachinger verwendet diese Feinstimmung, um verschiedene, vor allem tuerkische und persische Tonskalen mit der europaeischen Stimmung zu verbinden. [@18]

72. Wurzel aus 2
Franz Richter Herf, Salzburg: ’Ekmelische Musik’

Temperierte, nicht auf die Oktave bezogenen Stimmungen

13. Wurzel aus 3
Verschiedene Musikinstrumente (zB. die Klarinettenfamilie) oder verschiedene Spielweisen (in der Mitte angerissene Saiten) produzieren Spektren, in denen praktisch keine Oktave sowie auch kaum andere geradzahlige Teiltoene vorkommen. Fuer solche Klangtypen mit praktisch nur ungeradzahligen Teiltoenen 1-3-5-7-9 ... koennte man sehr gut eine eigene Stimmung konstruieren, die nicht auf Oktav, Quart und Terz aufbaut, sondern auf den Intervallen 3:1 (Duodezim), 5:3 (gr.Sext), 7:5 (Tritonus), 9:7 (uebermaessige Terz), 11:9 (neutrale Terz) ...
Eine gute Loesung dafuer ist ¹³√3.
In dieser Stimmung sind folgende Intervalle enthalten:

1	1.0882	25:23
2	1.1841	13:11
3	1.2886	9:7
4	1.4022	7:5
5	1.5258
6	1.6604	5:3
7	1.9068	21:11
8	1.9661
9	2.1395	15:7
10	2.3288	7:3
11	2.5335
12	2.7569
13	3.0000	3:1

Beispiele fuer die Anwendung dieser Stimmung kenne ich allerdings nur als Demo.

25. Wurzel aus 5
Schon bei seinen ersten elektronischen Studien experimentierte Karlheinz Stockhausen mit anderen Stimmungen. Dabei bezog er sich auf einen reinen Halbton 16:15 = 1.06667, den er sehr gut durch ²⁵√5 = 1.0665 annaehern konnte. Die uebrigen Intervalle der Skala ergeben kaum andere reine Intervalle, am ehesten noch eine grosse Sext, aber keine Quart, keine Quint und auch keine reine Oktav. [@9] [@10]

top

@1	Guenther Rabl: FAREWELL TEMPERED PIANO Darin gibt es ein Intervallsystem aus reinen ganzzahligen Bruechen, aber kein fixes Tonsystem. Der Algorithmus, der die Tonfolgen generiert ist im Gegenteil so konzipiert, dass im Verlauf eines Stueckes dieselbe Tonhoehe nicht nocheinmal vorkommt (mit Ausnahme von gelegentlichen Rueckschritten von 4 bis 5 Toenen). Ein 'Grundton' existiert nicht, waehrend der Intervallvorrat - fuer jedes Stueck ein typisch anderer - genau definiert ist.
@2	Guenther Rabl: GROSSE FUGE Das Teiltonspektrum einer rechteckigen Membran im Goldenen Schnitt (mit einem Seitenverhaeltnis von 1:1.618) fungiert als Tonsystem fuer Schichtungen aus mehrfachen Resonanzen (ein Resonator fuer die Tonhoehe, ein jeweils zweiter als 'Corpus'). Im Mitttelteil dieser 41 Minuten dauernden Schichtungen, in dem fallweise bis zu 200 Stimmen zusammenklingen, rekonstruiert sich der Gesamtklang des Systems. Am Anfang und am Ende dominieren die beiden 'Grundtoene'.
@3	Gottfried Martin: ELEGIA 'Klagelied in pythagoreischer Stimmung'
@4	Guy Fleming: CUT INTO THE PRESENT und MELANCHOLIC ADAGIO beide Stuecke in der sogenannten Lucy-Harrison scale
@5	Guenther Rabl: BETIRI
5.1	Das Motiv fuer den Holzfaeller Celhabe, Betiris Vater, (Strophe 4) ist in ⁷√2 gehalten, allerdings ueberlagert von einer stetigen Abwaertsbewegung.
5.2	In Strophe 17 findet sich das Celhabe-Motiv auf einen anderen Klangtypus uebertragen wieder und in einer anderen Stimmung, die nicht mehr burlesken Charakter hat sondern unruhigen, bedrohlichen: ¹¹√2
5.3	Der muikalische Trugschluss in Strophe 30 (die Katastrophe ist scheinbar vorbei, dennoch fehlt noch etwas) ist in ¹⁸√2 gehalten. Bezeichnet man die 18 Tonstufen chromatisch mit Buchstaben, dann reicht die Skala von A bis R. Der letzte Vierklang vor der Aufloesung ist in diesem Sinne ein Art Signatur: R-A-B-L
@6	Friedrich Gulda / Guenther Rabl: LANDSCHAFT MIT PIANIST Im Zuspielteil auf Tonband ist die Klavierstimmung fuenffach verfeinert: ⁶⁰√2 Diese bereits mikrotonale Stimmung ist aber auf drei Skalen zu je 16 Stufen aufgeteilt, in denen die 12 Tonstufen des Klaviers ausgespart sind. In der Windszene am Schluss hoert man das chromatische Totale dieser Feinstimmung als dichtes Rauschen.
@7	Limpe Fuchs: MUUSICCIA
@8	Guenther Rabl: TRIO I Als Klangmaterial dienen Aufnahmen von ’praeparierten’ Kontrabass- und Cellosaiten, die an einer bestimmten Stelle mit einem bestimmten Gewicht versehen sind (eine Arbeit mit Zentimetermass und Apothekerwaage), sodass das Teiltonspektrum auf eine ganz bestimmte, definierte Weise veraendert wird, die auf allen Tonstufen dieselbe Charakteristik hat. Darin gibt es keine Oktaven mehr, keine Quinten, keine Quarten, keine Terzen..., sondern stattdessen gaenzlich andere Intervalle, die mit ganzzahligen Bruechen nicht mehr zu beschreiben sind. Diesem Spektrum ist eine eigene temperierte Stimmung eingepasst, die die wichtigsten der neuen Intervalle sehr gut abdeckt. Die so gewonnene Stimmung zeigt kaum eine Hierarchie an Konsonanzgraden, sondern eher eine gleichmaessige Verteilung, in der auch die kleinen Intervalle durchaus als konsonant gelten.
@9	Karlheinz Stockhausen: STUDIE I
@10	Karlheinz Stockhausen: GESANG DER JUENGLINGE
@11	Guenther Rabl: MAERCHEN Die Klaenge einer Nagelgeige (mit einem Geigenbogen gestrichene abgestimmte Stahlstifte) sind darin gehoersmaessig so gestimmt, dass sie einmal 7 Toene pro Oktav und einmal 8 Toene pro Oktav ergeben. Beide Stimmungen kommen am Anfang und am Ende parallel (ohne gemeinsame Tonhoehe) vor.
@12	Thomas Gorbach: WENN DIE LANDSCHAFT AUFHOERT
@13	Guenther Rabl: STYX
@14	Guenther Rabl: BELCANTO
@15	Alois Haba: STREICHQUARTETT in Sechsteltoenen
@16	Gulda / Anders / Rabl: Probenmitschnitt, Weissenbach 1980 Ein Zusammentreffen der gewohnten ¹²√2 am Clavichord und ¹⁷√2 am Kontrabass
@17	Hoefische Gamelanmusik aus Bali (pelog)
@18	Hasret Ensemble: Abdul Qaadir Maraghi (Iran, 14.Jhdt), Kare Mouchteschem
@19	Harry Partch: WINDSONG
@20	Bulgarische Frauenchoere
@21	Guenther Rabl: FLASCHENPOST Das zweite Stueck dieser Sammlung, ’Zum Henker’, ist ein playback-Duo von zwei Kontrabaessen, die nahezu nur flageolette gespielt werden, vornehmlich auf den beiden hoeheren Saiten, somit in zwei, um eine Quart verschiedenen Obertonreihen.
@22	Guenther Rabl: Grillrost und Obertonfloete eine Materialimprovisation 1974: ein langes, duennes Kupferrohr mit einem Blockfloeten-Mundstueck. Der Anblasdruck bestimmt die Selektion des Obertons, durch Verschliessen der Oeffnung erhaelt man eine zweite Obertonreihe, eine Oktave tiefer als die erste, aber mit nur ungeradzahligen Teiltoenen. Zwischen diesen beiden kann hinundher gesprungen werden.
@23	Chinesisches Glockenspiel top
L1	Ernst Florens Friedrich Chladni: KLANGFIGUREN
L2	Johannes Kepler: WELTHARMONIE
L3	Guenther Rabl: Urspruenglicher Programmtext zu MUGL ENTSTEIGT (1977) Die Notwendigkeit Klaenge zu benennen, um mit ihnen kompositorisch arbeiten zu koennen, erweckt sie zu neuem Leben. Sie wachsen in eine Ordnung - nicht nur abstrakter Formprinzipien, sondern zugleich einer phantastischen Begrifflichkeit. Mit der Komposition entsteht zugleich eine Mythologie, die die ihrer Umwelt entrissenen und mannigfach bearbeiteten Klaenge mit der Gedankenwelt verbindet.’
L4	Hermann v. Helmholtz: DIE LEHRE VON DEN TONEMPFINDUNGEN